Mathématiques plus ou moins évoluées

Un historique de toutes nos réunions

Table des matières

mercredi 4 avril 2007

La voix du secrétaire (Jean)

Présents à la réunion, en fonction de l'ordre d'arrivée

Kai,
Emmanuel,
Sébastien,
Théo,
Anthony,
moi,
Julien,
Jérôme,
Laurent,
Xavier,
Stéphane,
Bruno,
Nicolas,
et Éric.

Impossible de mémoriser le nom kurde des plats que nous avons consommés. Quant aux boissons, nous avons bu de la Kilkenny, de la Guiness, une bière au nom allemand, un Porto et beaucoup de Coca-Cola.

La table centrale avec 10 places était réservée... par un autre groupe. Nous nous sommes donc agglutinés à six sur une table à 4 places. Julien a été hébergé à la table d'à côté, qui avait 4 places pour un groupe de 3. Lorsque Jérôme et Laurent sont arrivés, ils sont restés un certain temps debout, jusqu'à ce que Kai propose à Laurent d'échanger sa place assise contre une place debout. Heureusement, en fin de soirée, nous avons pu nous installer sur une table plus étendue.

Nous avons parlé de Perl, d'Internet (un tout petit peu), d'informatique et d'autres sujets.

Perl

Julien est actuellement sur une mission où il doit utiliser .NET et C#. Heureusement pour lui, il existe un mécanisme en .NET générant des assemblies, qui permet d'interfacer des modules indépendants, éventuellement écrits dans des langages différents [ Ceux qui pratiquent .NET de temps en temps comprendront ce que Julien voulait dire. Moi je n'ai pas compris. ]. Bien entendu, pour Julien, construire une assembly, cela signifie réunir quelques modules de CPAN et les interfacer avec .NET.
D'autres qui ont parfois moins de chance, ce sont ceux qui travaillent sur Solaris. Bruno raconte qu'il a travaillé sur un système disposant de Sun Studio et d'un Perl compilé avec gcc (à moins que ce soit l'inverse). Du coup, impossible d'utiliser des modules utilisant XS, puisqu'il faut le même compilateur et les mêmes options.
Pour résoudre ses problèmes, Julien utilise CPAN, en privilégiant les modules se terminant par Simple. Néanmoins, dans certains cas, il ne cherche même pas si CPAN offre une solution. Par exemple, pour analyser du CSV simpliste, il utilise un bête split ou une expression rationnelle avec capture. C'est vrai que dans le cas signalé, chaque ligne du fichier à analyser contient exactement cinq champs séparés par des points-virgules. D'autre part, le contenu de ces champs ne justifie pas les précautions habituelles du genre encadrement par des quotes (doubles ou simples) ou échappement avec un backslash.
Nicolas a raconté qu'il a analysé les règles de filtrage IP avec un module Perl pour les afficher ensuite avec Graphviz. Même si l'on imprime le graphe obtenu sur une feuille A0, on obtient un graphe très touffu.
Une bonne raison de regretter la disparition des Perl Power Tools : cela permet de corriger certains bugs ou de compenser certaines limites des outils Unix. C'est arrivé à Théo. Il avait besoin de rechercher une chaîne de caractères dans un fichier. Le problème semblait simple, mais Théo n'est pas arrivé à le résoudre avec grep. Puis il a essayé avec :
```
perl -n -e 'print if /reg-exp/'
```
Et cela fonctionne ! La raison ? Le fichier à analyser contenait des "\0", qui stoppaient l'analyse par le grep de GNU, mais qui ne gênent en rien les expressions rationnelles de Perl.

Internet

Xavier a de nouveau évoqué Sympa, en remarquant que les Mongueurs de Perl utilisent Mailman, écrit en Python. Emmanuel explique que cela montre que nous avons l'esprit large. Xavier préfère Sympa, car le volume de messages qu'il doit traiter est nettement plus important que celui des Mongueurs et Sympa supporte beaucoup mieux la montée en charge que Mailman.
Pour compiler le moindre programme sur AIX, cela prend énormément de temps. Mais ce n'est pas forcément mieux de demander des programmes préinstallés. Quelqu'un a commandé à IBM un serveur AIX en précisant bien qu'il voulait disposer d'Apache et de PHP (sans même demander mySQL, ça sera pour la prochaine fois). Il a eu beaucoup de difficultés à obtenir une machine avec ces deux logiciels.
Il est question de quelqu'un qui avait à sa disposition un vieux PC avec 128K de mémoire. Qu'est-ce qu'on peut en faire ? Il est quand même possible d'y installer Linux. Évidemment, pas question d'y mettre X-Window et OpenOffice.org ! Il existe une distribution de taille extrêmement réduite. Lors de la réunion, c'est le nom de Peanut Linux (maintenant aLinux) qui a été donné, mais au vu des caractéristiques, il semblerait que ce soit une erreur, étant donné que cette distribution comporte plusieurs logiciels multimédia. Pour en revenir à la machine avec 128K de mémoire, une fois Linux installé, elle a servi de serveur Internet, c'est-à-dire, si je me souviens bien, serveur de courrier (POP, IMAP et Webmail), passerelle et pare-feu, peut-être même LDAP.

Informatique

Nicolas évoque un point passé inaperçu dans son article sur svk : la mention à redMine. C'est un logiciel de gestion de projet écrit en Ruby. C'est un logiciel très fourni, avec de nombreuses fonctionnalités, dont certaines épateront les décideurs pressés, comme le diagramme de Gantt. Ce n'est pas un camembert 3-D en couleurs, mais c'est quand même un schéma en couleurs, qui fait bien dans les présentations Powerpoint.
Emmanuel nous raconte comment il s'est construit une machine perso. En se déplaçant dans Boulogne-Billancourt, il est tombé sur le seul Chinois de Boulogne-Billancourt qui tienne un magasin d'informatique (tous les autres Chinois de cette ville tiennent un restaurant). Là il a trouvé l'ultime exemplaire d'un boîtier de dimension réduite. Il l'a aussitôt acheté, une telle occasion risquant de ne pas se renouveler. Ultérieurement, comme il travaillait chez un client dans le 12^e arrondissement, il en a profité pour passer rue Dugommier (là, les Chinois vendeurs d'informatique ne manquent pas) et il a acheté tout ce qu'il faut pour remplir son boîtier, en prenant soin de choisir des ventilateurs aussi silencieux que possible. C'est ainsi qu'il utilise un ordinateur qui se laisse oublier, tellement il est silencieux et peu encombrant.
Julien évoque un sujet de programmation particulier, la planification du travail dans les ateliers de peinture chez Ford (c'était longtemps après l'époque de la Ford T, pour laquelle l'acheteur pouvait choisir n'importe quelle couleur, du moment qu'il choisissait le noir). Un gros problème pour les ateliers de peinture est que lorsqu'un atelier doit changer de couleur, cela occasionne une grosse perte de temps, car il faut vider les réservoirs de peinture et nettoyer les tuyaux avant de réapprovisionner avec la nouvelle couleur. Donc des informaticiens de culture mathématique ont écrit un super-programme d'optimisation qui permettait d'obtenir la solution optimale absolue. Seulement, le programme prenait 6 heures pour établir la planification de la journée et d'autre part, les informaticiens avaient oublié que les machines des ateliers de peinture pouvaient tomber en panne de temps en temps. Puis d'autres informaticiens, avec une culture venant plutôt des sciences physiques, ont mis au point un nouveau processus, basé sur le calcul d'une grandeur que l'on peut interpréter comme une énergie ou comme un coût, et lorsqu'un atelier a terminé de peindre un lot de voitures, il « achète » un nouveau lot de voitures en minimisant la dépense. [ On retrouve donc deux des principales forces qui font bouger l'univers : l'énergie et le fric. ]
Julien évoque d'autres algorithmes d'optimisation, comme l'optimisation consistant à simuler le déplacement des fourmis d'une colonie. Les fourmis doivent aller chercher de la nourriture en partant de la fourmilière. Au début, elles se déplacent complètement au hasard. Lorsqu'une fourmi trouve de la nourriture, elle revient en laissant une trace olfactive. Ultérieurement, les fourmis continuent à se déplacer au hasard, mais en privilégiant le ou les chemins marqués par l'odeur d'une fourmi. Et lorsqu'elles prennent ce chemin au retour, leur odeur renforce l'odeur des fourmis qui les ont précédées. Mais cette préférence n'est pas absolue et il reste quand même la possibilité de choisir un chemin inutilisé ou peu utilisé. De la sorte, si la situation évolue et si un obstacle apparaît sur un chemin utilisé, les fourmis peuvent adopter un itinéraire bis déjà marqué.
Julien évoque un autre domaine liant la programmation et les mathématiques, le calcul rapide des racines carrées. La fonction part d'une constante particulière choisie selon des critères qui dépassent l'entendement de Julien et le mien, puis effectue un calcul itératif. Comme la constante a été très bien choisie, il suffit d'une ou deux itérations pour obtenir une très bonne approximation de la racine carrée, donc autant développer la boucle pour écrire l'unique itération ou les deux itérations nécessaires. Julien nous renvoie à l'article de Wikipedia sur John Carmack. Et je vous renvoie en fin de compte-rendu où vous pourrez trouver quelques considérations mathématiques sur le sujet. Rassurez-vous, c'est du niveau terminale C (ou terminale S, comme on dit maintenant).
Faisant écho à Julien il y a quelques mois, Nicolas évoque un cauchemar : l'encodage des textes. À force de travailler sur plusieurs machines, il consulter des textes encodés dans tous les principaux encodages connus. Jérôme regrette qu'il n'y ait pas de méta-informations dans les systèmes de fichiers disponibles sous Unix et Linux.
Un sujet analogue, c'est comment convertir un nombre gros-boutiste en petit-boutiste et inversement. Julien évoque un moyen très rapide de faire cela, en moins d'un cycle machine ! Si j'ai bien compris, cela consiste à utiliser une mémoire avec un mode d'adressage astucieux. Lorsque l'on stocke un nombre dans une orientation donnée, on lit ensuite à une autre adresse associée à la précédente (du genre on stocke à une adresse paire et on lit à l'adresse impaire qui suit) et on obtient le même nombre dans l'orientation qr/(?:gros|petit)-boutiste/ inverse.
À plusieurs occasions lors des réunions précédentes, Nicolas et quelques autres se sont fait les ardents défenseurs de zsh. Cette fois-ci, c'est Xavier qui nous donne son opinion. Oui, zsh est meilleur. Mais bash lui suffit amplement, à quoi bon consacrer du temps à apprendre des nouvelles fonctionnalités qui ne lui serviront pas ?

Julien, qui connaît à la fois Perl et C# nous signale que les hachages, cela existe aussi en C#. Mais alors que Perl permet d'initialiser un hachage avec :

my %hachage = (First => 'Hello', Second => 'world', Third => '!');

voire, en plus concis :

my %hachage = qw(First Hello Second World Third !);

la seule façon d'initialiser un hachage en C# correspond au code Perl suivant :

my %hachage;
$hachage{First}  =  'Hello';
$hachage{Second} =  'World';
$hachage{Third}  =  '!';

ou bien en copiant-collant un message du même Julien quelques jours plus tôt :

using System;
using System.Collections;
public class SamplesHashtable  {

   public static void Main()  {

      // Creates and initializes a new Hashtable.
      Hashtable myHT = new Hashtable();
      myHT.Add("First", "Hello");
      myHT.Add("Second", "World");
      myHT.Add("Third", "!");

      // Displays the properties and values of the Hashtable.
      Console.WriteLine( "myHT" );
      Console.WriteLine( "  Count:    {0}", myHT.Count );
      Console.WriteLine( "  Keys and Values:" );
      PrintKeysAndValues( myHT );
   }


   public static void PrintKeysAndValues( Hashtable myHT )  {
      Console.WriteLine( "\t-KEY-\t-VALUE-" );
      foreach ( DictionaryEntry de in myHT )
         Console.WriteLine("\t{0}:\t{1}", de.Key, de.Value);
      Console.WriteLine();
   }

Julien a également évoqué TCL. Peu de participants avaient entendu parler de ce langage. C'est un langage de script de la même génération que Perl, mais qui n'a pas eu autant de succès. La principale marque de TCL, c'est d'avoir permis la création de l'interface utilisateur Tk, qui a été ensuite adaptée pour donner Perl/Tk, Python/Tk et ainsi de suite.
Julien se compare à un borgne. En effet, il estime que son niveau est nettement inférieur à celui de certains participants à nos réunions. En revanche, s'il se compare avec certains informaticiens qu'il côtoie tous les jours, alors « au pays des aveugles, les borgnes sont rois ».
Un grand (?) projet à venir, c'est l'installation d'Ubuntu à l'Assemblée Nationale. Deux questions se posent. Est-ce un projet si grand qu'on veut bien le dire ? Après tout, cela concerne un peu plus de 500 députés, ainsi que l'assistant parlementaire de chaque député, soit au total juste un millier de postes à installer. D'autre part, certains regretteront que les institutions politiques françaises aient choisi une distribution étrangère, au lieu d'adopter Mandriva. Mais il faut signaler que l'Assemblée Nationale s'est adressée à une société de service en logiciel libre française.
Emmanuel a profité de la présence de Xavier pour lui parler des développeurs d'OCS Inventory NG, qui sont des collègues de Xavier, puisque, comme pour Lemonldap::NG::Handler « NG » signifie « Nationale Gendarmerie ». Mais il en avait déjà parlé au mois de février.
Il y a quelques années, lorsque le système de fichiers reiserfs est sorti, nombreux sont ceux qui ont prédit que ce serait un ext2fs-killer. Maintenant, lorsque l'on accole le nom de Reiser et le terme killer, ce n'est plus pour les mêmes raisons.

Divers

J'ai eu un moment d'hésitation en voyant Anthony, compte tenu de la longueur de ses cheveux, qui a nettement augmenté depuis qu'il a quitté la région parisienne et la Gendarmerie Nationale pour rejoindre la Bretagne et l'Armée de Terre. Contrairement à ce que laisserait supposer cette phrase, la longueur des cheveux ne dépend pas d'un particularisme local ou d'un règlement différent pour le personnel civil des différentes forces armées françaises. C'est simplement parce que c'est la compagne d'Anthony qui lui coupe les cheveux et comme elle est actuellement enceinte, elle a de la difficulté à accomplir cette tâche. Quant à la vie professionnelle d'Anthony, il n'est plus développeur, mais formateur. Il tient à préciser que son boulot consiste à enseigner l'informatique, pas à réinitialiser des disques durs et des disquettes.
Non seulement Anthony habite en Bretagne, mais en plus il habite dans un site calme et plaisant. Sa maison est au bord d'un canal qui ne sert plus que pour le tourisme fluvial en été. Donc, en dehors de cette saison, il peut courir sur le chemin de halage, faire un peu de kayak dans le canal, pêcher son repas de midi, et ainsi de suite.
Sans aller jusqu'en Bretagne, il est possible d'habiter en province et de travailler à Paris. Avec le TGV, ceux qui habitent à Vendôme par exemple, ne sont qu'à une heure de Paris. Et ce sera le cas bientôt pour les habitants de Reims. Alors pourquoi habiter en banlieue ? À cela, on peut répondre que 1 heure de gare à gare, cela ne veut pas dire 1 heure de porte à porte. Dans un cas extrême, le mien, j'en ai pour 3 minutes de gare à gare précédé de 10 minutes à pied de mon domicile à la gare de Bécon-les-Bruyères suivi d'une demi-heure de marche ou de bus de la gare de Clichy-Levallois jusqu'à mon travail, à la limite entre Clichy-la-Garenne et Saint-Ouen. Cela me prend à peine plus de temps à pied qu'en bus, car mon trajet pédestre est en ligne droite, tandis que le bus doit faire des détours pour passer devant les gares SNCF et les stations de métro. De plus, parmi les usagers, il y a assez souvent des mères de famille avec poussette. Et lorsque les autres usagers ne se préoccupent pas de laisser le passage aux poussettes, les arrêts durent assez longtemps, le temps que tout le monde puisse monter.
Nous discutons de la place de la gent féminine dans l'informatique. Il existe des femmes qui sont de bonnes programmeuses, il existe des femmes qui font de l'administration système, mais il n'y en a pas beaucoup qui ont l'esprit geek. Et le troll est arrivé là où on ne l'attendait pas. Doit-on dire « une femme administrateur système » (par analogie avec « docteur »), une « administrateure système » (par analogie avec « un auteur, une auteure ») ou une « administratrice système » (par analogie avec la quasi-totalité des noms en « teur », y compris « administrateur » de biens, de société, etc.) ?
S'il y a des informaticiennes compétentes, voire brillantes, il existe également des informaticiennes incompétentes. J'en ai connu une qui devait rédiger une doc et notamment, donner combien de temps un job avait pris sur différentes architectures. On lui demandait le temps CPU en secondes, mais la machine MVS avait indiqué 0,16 minute. Ma collègue savait que pour convertir les minutes en secondes, la première étape consistait à ouvrir la calculette Windows, mais ensuite, que fallait-il faire ? Précisons que cette collègue avait un niveau bac+4, avec une maîtrise en mathématiques appliquées et informatique.
Kai a récemment visité Taïwan. Il trouve que c'est un pays de geeks. La plupart des gadgets qu'il avait il y a quelques années étaient d'origine japonaise, tandis que ceux qu'il a maintenant sont d'origine taïwanaise.
Parmi ses gadgets, nous avons pu remarquer le vélo de Kai, plié dans un coin de la salle et qui n'encombrait quasiment pas. Kai assure pouvoir déplier son vélo en 5 secondes, mais il n'a pas dit combien le pliage lui prenait de temps. Je rappelle que déjà, Gaston Lagaffe avait perfectionné le vélo pliant en ajoutant un ressort pour faciliter le dépliage et un autre ressort pour faciliter le pliage. Sachant que le ressort de dépliage était suffisamment puissant pour tendre le ressort de pliage en même temps qu'il dépliait le vélo et que le ressort de pliage était lui aussi suffisamment puissant pour tendre le ressort de dépliage lors du pliage du vélo. Julien aurait entendu ces explications, il aurait fait remarquer qu'un physicien aurait tout de suite détecté qu'il y avait un problème dans le bilan énergétique de ce concept innovateur.
Pas besoin d'aller à Taïwan pour se dépayser. Kai nous donne une adresse nettement plus proche, la Maison des Trois Thés. Kai ayant d'abord dit qu'elle se trouvait place Monge, Sébastien a consulté Internet sur son téléphone portable pour vérifier. Mais il n'a pas trouvé. En effet, la Maison des Trois Thés se trouve en réalité dans une rue adjacente à la place Monge, mais cela, les annuaires électroniques ne sont pas capables de le comprendre. On peut y consommer de nombreuses variétés de thés, contrairement à ce que le nom de l'établissement semble indiquer. D'autre part, le thé est servi selon le Gong Fu Cha, un art traditionnel pour ce breuvage.

Complément mathématique

Tout d'abord, une rectification. Julien a évoqué le calcul des racines carrées, alors qu'en fait, il est question du calcul de l'inverse de la racine carrée, fastInvSqrt. Mais lorsque l'on dispose d'une valeur, on obtient facilement l'autre. Il suffit de calculer au choix
```
1 / fastInvSqrt(x)
```
ou
```
x * fastInvSqrt(x)
```
Cela fait juste une opération de plus, c'est quand même assez rapide.

Voici tout d'abord la fonction de calcul, légèrement adaptée pour suivre le déroulement des calculs. De plus, j'y ai mis trois itérations alors que deux suffisent largement d'habitude.

   #include <stdio.h>
   #include <stdlib.h>

   float fastInvSqrt(float x)
   {
       float xhalf = 0.5f * x;
       int i = *(int*) &x;
       printf("%g\n%08X\n", x, i);
       i = 0x5f375a86 - (i >> 1);
       x = *(float*) &i;
       printf("%08X\n%g\n", i, x);
       x = x * (1.5f-xhalf * x * x);
       printf("%g\n", x);
       x = x * (1.5f-xhalf * x * x);
       printf("%g\n", x);
       x = x * (1.5f-xhalf * x * x);
       printf("%g\n----\n", x);
       return x;
   }

   main ()
   {
     // printf("sizeof int = %d\n", sizeof (int));
     fastInvSqrt(6e23);
     fastInvSqrt(6.626e-34);
     fastInvSqrt(1);
     fastInvSqrt(2);
     fastInvSqrt(3);
     fastInvSqrt(4);
     fastInvSqrt(1024);
     exit(0);
   }

Voici ensuite le résultat, remis sous forme tabulaire par un programme Perl (j'ai fait assez de C pour l'instant, revenons à un langage évolué).

Nombre	6e+23	6.626e-34	1	2	3	4	1024
i initial	66FE1C21	085C2FC6	3F800000	40000000	40400000	40800000	44800000
i final	2BB84C76	5B0942A3	3F775A86	3F375A86	3F175A86	3EF75A86	3CF75A86
x₀	1.30952e-12	3.86353e+16	0.966225	0.716225	0.591225	0.483113	0.0301945
x₁	1.29059e-12	3.88468e+16	0.998308	0.70693	0.576846	0.499154	0.0311971
x₂	1.29099e-12	3.88485e+16	0.999996	0.707107	0.57735	0.499998	0.0312499
x₃	1.29099e-12	3.88485e+16	1	0.707107	0.57735	0.5	0.03125

Et maintenant, quelques explications mathématiques sur le calcul. Tout d'abord, la manipulation passant par la variable i. Un float est représenté par une mantisse et un exposant en base 2. Les 17 premiers bits sont l'exposant de la puissance de 2, avec un décalage de 00111111 (qui explique le 3F8 pour la valeur 1, qui devrait avoir un exposant de 0). En réinterprétant les octets comme un entier puis en appliquant un décalage à droite, cela divise l'exposant (et sa constante de décalage) par 2. Puis le résultat est soustrait à une constante, pour deux raisons :
- l'exposant change de signe, ce qui revient à calculer l'inverse,
- cela rétablit la bonne constante de décalage, après le décalage et le changement de signe.
Si cela justifie le 5F3 de la constante, je ne sais pas comment a été choisi le reste de cette constante pour que le calcul donne une valeur approchée relativement bonne de la mantisse. D'ailleurs, si vous comparez les deux versions, de la fonction, vous constatez que la constante n'est pas la même : 0x5f375a86 contre 0x5f3759df.
Maintenant, considérons les calculs qui suivent. C'est en fait la méthode de Newton appliquée à la fonction
x -> 1/x² - a
qui s'annule en 1/sqrt(a). La méthode de Newton consiste à partir d'une approximation x₀, à repérer le point (x₀, y₀) sur la courbe, à tracer la tangente en ce point, trouver le point où cette tangente coupe l'axe des X et prendre l'abscisse comme nouvelle approximation x₁. Et on itère le processus.
La dérivée de
x -> 1/x² - a
est la fonction
x -> -2/x³
donc l'équation de la tangente en x_n est :
y = -2x/x_n³ + 3/x_n² - a
L'élément suivant de la liste est donc donné par :
-2x_n+1/x_n³ + 3/x_n² - a = 0
soit :
x_n+1 = x_n(3/2 - a x_n² / 2)
où vous reconnaissez la formule de fastInvSqrt, à condition de savoir distinguer les a et les x dans la fonction C.
Julien a évoqué une « spirale » à propos de la méthode de Newton. En fait cela ne s'applique pas au calcul présent. Voici la représentation graphique de la méthode de Newton, pour le calcul de la racine carrée inverse, en prenant une valeur initiale relativement éloignée.

Le premier schéma montre la fonction dont on cherche le zéro. On part d'une première valeur, on trace un segment vertical jusqu'à la courbe, puis on redescend obliquement le long de la tangente au point de la courbe. Puis on recommence l'itération avec un nouveau segment vertical et un nouveau segment oblique tangent. Cela fait penser à des dents de scie. Le second schéma représente la fonction dont on cherche le point fixe. On part de la valeur initiale, on monte par un segment vertical jusqu'à la courbe, puis on rejoint la diagonale d'équation y = x par un segment vertical, puis on repart à la verticale. Dans ce cas, cela donne un genre d'escalier. Avec une fonction décroissante, on aurait eu une spirale comme le suggérait Julien.

On part d'une faible valeur de x. On monte verticalement jusqu'à la valeur (relativement élevée) correspondante de y. On rejoint la diagonale par un segment horizontal, donc à une abscisse x assez élevée. On redescend vers la courbe, pour trouver un y de valeur faible, quoique supérieur au premier x. On revient à la diagonale par un segment horizontal. Ces quatre segments constituent la première spire de la spirale. On continue avec un segment vertical et ainsi de suite, ce qui donne une spirale convergeant vers le point fixe de la fonction.
Le choix de la valeur initiale x₀ est très important pour avoir une convergence rapide, mais en général, presque toutes les valeurs initiales permettent de converger. Il existe toutefois quelques cas pathologiques. Par exemple, avec
x₀ = sqrt(5/a)
la suite oscille :
x₁ = - sqrt(5/a)
x₂ = sqrt(5/a)
x₃ = - sqrt(5/a)
x₄ = sqrt(5/a)
et ainsi de suite. Ou alors, avec
x₀ = sqrt(3/a)
on obtient :
x₁ = 0
x₂ = 0
x₃ = 0
x₄ = 0
et ainsi de suite.